Baris dan Deret Geometri
A.Barisan Geometri
1. Pengertian Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah sederetan bilangna yang berupa suku (satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan(tetap) dan dinamakan rasio yang dilambangkan dengan “r”
Sehingga
r = Un
Un-1
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah:
a, ar, ar² , .......ar n-1
2. Suku ke-n Barisan Geometri
Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan Un adalah suku ke-n
r = Un maka Un = r . Un-1
Un-1
Sehingga Un = ar n-1
Dengan memandang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti berikut :
a. Jika rasio lebih besar (r >1), maka suku-suku barisan itu semakin besar nilainya/ naik.
b. Jika rasionya 0 dan 1 (0< r >1), maka suku-suku barisan itu semakin kecil nilainya/ turun
c. Jika rasio <0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik turun.
3). Nilai Tengah Barisan Geometri
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan Ut2 = ( U1. U(2t – 1))
Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,
maka:
Utengah = √Uawal-Uakhir
B. Deret Geometri
Deret geometri adalah suku-suku dari suatu barisan geometri yang dijumlahkan
Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un,
jika Un+1> Un maka deretnya disebut deret geometri naik,
dan jika Un+1 < Un , maka deretnya disebut deret geometri turun. Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri, maka :
1) Sn =a(rn-1) digunakan jika r >1
r-1
2) Sn =a(1-rn) digunakan jika 0< r <1
1-r
1. Suku Tengah Deret Geometri
Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengahtengahantara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumusberikut :
Ut = √axUn
2. Deret Geometri Tak Hingga
Deret Geometri Tak Hingga adalah deret geometri yang menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak hingga, banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.
Contoh :
a) 1 + 2 + 4 + 8 +......, r = 2
b) 9 + 3 + 1 + +......, r = 1/3
Keterangan :
a) Un menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan yang besar maka dinamakan deret geometri naik tak terhingga, Sn tak terhingga.
b) Un menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri turun tak hingga
Jumlah deret geomatri turun tak hingga :
Sn =a(1-rn) = a - arn , 0< r <1 1-r 1-r 1-r
Maka : Sn = a = 0→ Sn = a
1-r 1-r
Jenis Deret Geometri Tak Hingga
a. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret Geometri Tak Hingga Konvergen adalah suatu deret dengan rasio |r| <1 atau -1< r <1 . Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen dirumuskan dengan nilai pendekatan
Sn = a
1-r
Contoh : 1 + 1 + 1 + 1 +......
3 9 27
b. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (Menyebar)
Deret Geometri Tak Hingga Divergen adalah deret dengan rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Jumlah deret geometri tak hingga yang divergen tidak didefinisikan. Contoh : 1 + 3 + 9 + 27 +.......
3. Sisipan pada Deret Geometri
Sisipan pada Deret Geometri adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan, sehingga terjadi deret geometri yang baru. Rasio deret baru (r1) setelah disisipkan beberapa buah bilangan diantara x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut :
r1 = k+1√y , jika banyak suku yang disisipkan genap.
x
Dengan r1 = rasio pada deret baru.
k = banyak bilangan yang disisipkan.
x dan y adalah dua suku mula-mula.
Jumat, 15 Januari 2010
Baris dan Deret Aritmatika
Baris dan Deret Aritmatika
A) Barisan Aritmatika
1. Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 selalu tetap.
Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :
U1,U2,U3,...... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b
Keterangan : U1 = a = suku pertama
Un - Un-1 = beda = b
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku / urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,……
2. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).
Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1
3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan
Contoh :
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....
Penyelesaian :
a = 2
b = 5-2 = 3
Un = a + (n-1) b
= 2 + (20-1) 3
= 2 + 60 – 3
= 59
Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut :
a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku
ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku
terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan:
Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,
maka:
Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)
5). Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih
yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.
Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka
rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:
Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + ….
Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya
B) Deret Aritmatika
1. Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un . Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < un =" Sn" un =" Sn'" ut =" 1/2" sn =" 1/2" ut =" Sn" a =" 1" b =" 3-2" sn =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 55">2. Sifat-Sifat Deret Aritmatika
1) Un – U(n - p) = b . p
2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}
C. Sisipan dan Deret Aritmatika
1. Pengertian Sisipan
Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.
Contoh
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +......
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +…...
2. Beda Deret Baru
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b
k+1
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh :
Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + ... disisipkan 2 buah bilangan, maka :
b = 15 – 6 = 9 dan k = 2
b = 9 = 3
k+1 2+1
A) Barisan Aritmatika
1. Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Misalnya Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 selalu tetap.
Bentuk umum barisan aritmatika seperti berikut :
U1,U2,U3,...... ,Un-1 atau a,a + b,a + 2b,……,a + (n-1) b
Keterangan : U1 = a = suku pertama
Un - Un-1 = beda = b
Un = suku ke-n
n = banyaknya suku / urutan suku
Maka rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = a + (n-1) b, dengan n = 1,2,3,……
2. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).
Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1
3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan
Contoh :
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,....
Penyelesaian :
a = 2
b = 5-2 = 3
Un = a + (n-1) b
= 2 + (20-1) 3
= 2 + 60 – 3
= 59
Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut :
a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku
ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku
terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan:
Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,
maka:
Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)
5). Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih
yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.
Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka
rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:
Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n - 2)(n-3)d + ….
Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya
B) Deret Aritmatika
1. Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un . Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < un =" Sn" un =" Sn'" ut =" 1/2" sn =" 1/2" ut =" Sn" a =" 1" b =" 3-2" sn =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 1/2" s10 =" 55">2. Sifat-Sifat Deret Aritmatika
1) Un – U(n - p) = b . p
2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}
C. Sisipan dan Deret Aritmatika
1. Pengertian Sisipan
Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.
Contoh
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +......
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +…...
2. Beda Deret Baru
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b
k+1
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Contoh :
Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + ... disisipkan 2 buah bilangan, maka :
b = 15 – 6 = 9 dan k = 2
b = 9 = 3
k+1 2+1
Baris dan Deret Bilangan
Baris dan Deret Bilangan
A. Pola Bilangan
1. Pengertian Pola Bilangan
Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.
Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan akan kami bahas. Dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilangan asli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilangan asli.
Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:
Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }
Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}
Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan
Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }
Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola
bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan
bilangan asli.
2. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap
a. Pola Bilangan Ganjil
Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}
Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n2(n kuadrat)
b. Pola Bilangan Genap
Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)
3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di
perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1 atau (2 pangkat n-1)
B. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan
dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.
1. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1
2. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan.
Contoh :
Suatu barisan dalam bentuk rumus Un = 2n + 3
Tentukan U15
Penyelesaian :
Un = 2n + 3
U15 = 2(15) + 3
= 33
C.Deret Bilangan
Deret Bilangan adalah suku-suku suatu barisan yang dijumlahkan.
Jumlah deret bilangan dapat dinyatakan dengan rumus Sn = 1/2 n (a + Un) 1/2
Contoh : Hitunglah jumlah bilangan asli sampai suku ke-10
Penyelesaian :
1,2,3,……10
a = 1
b = 3-2 = 1
U10 = 10
Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
S10= 1/2 .10 (1 + U10)
S10= 1/2 .10 (1 + 10)
S10= 1/2 .10 (11)
S10= 55
D.Notasi Sigma
Notasi sigma adalah sutu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang umumnya dibaca “sigma” yang merupakan huruf umum Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari kata “SUM” yang artinya jumlah.
A. Pola Bilangan
1. Pengertian Pola Bilangan
Sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu,maka yang demikian itu disebut pola bilangan.
Dari beberapa jenis bilangan, tidak semua bilangan akan kami bahas. Dalam bab ini pembahasan akan difokuskan pada himpunan bilangan asli. Sedangkan bilangan asli sendiri dibagi menjadi beberapa himpunan bagian bilangan asli.
Beberapa himpunan bagian bilangan asli tersebut antara lain:
Himpunan bilangan ganjil = {1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . }
Himpunan bilangan genap = {2 , 4 , 6 , 8 , . . .}
Himpunan bilangan kuadrat = {1 , 4 , 9 , 16, . . .}, dan
Himpunan bilangan prima = {2 , 3 , 5 , 7 , 11 , . . . }
Untuk selanjutnya akan dipelajari mengenai pola-pola
bilangan yang merupakan himpunan bagian dari himpunan
bilangan asli.
2. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap
a. Pola Bilangan Ganjil
Salah satu dari himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan ganjil. Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil adalah {1, 3, 5, 7, 9 . . .}
Dari pola-pola bilangan ganjil, kemudian dapat ditentukan jumlah bilangan asli ganjil.
Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama =n2(n kuadrat)
b. Pola Bilangan Genap
Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilangan asli adalah bilangan genap, yaitu { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . }.
Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + n = n ( n + 1)
3. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
kata pascal diberikan untuk mengenang Blaise Pascal (1623-1662), seorang ahli matematika bangsa Perancis yang menemukan susunan bilangan-bilangan tersebut. Jika di
perhatikan, ternyata terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah bilangan berdekatan yang terdapat pada baris yang ada tepat di atasnya.
Dalam pola bilangan segitiga pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2n-1 atau (2 pangkat n-1)
B. Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan dalam matematika yang diurutkan dengan aturan tertentu. Tiap - tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan tersebut disebut suku dari barisan itu. Secara umum barisan bilangan dinyatakan
dalam bentuk U1, U2, U3, U4, . . . , Un, dengan U1 adalah suku pertama dan Un adalah suku ke-n.
1. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan
Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,...
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n - 1
2. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan.
Contoh :
Suatu barisan dalam bentuk rumus Un = 2n + 3
Tentukan U15
Penyelesaian :
Un = 2n + 3
U15 = 2(15) + 3
= 33
C.Deret Bilangan
Deret Bilangan adalah suku-suku suatu barisan yang dijumlahkan.
Jumlah deret bilangan dapat dinyatakan dengan rumus Sn = 1/2 n (a + Un) 1/2
Contoh : Hitunglah jumlah bilangan asli sampai suku ke-10
Penyelesaian :
1,2,3,……10
a = 1
b = 3-2 = 1
U10 = 10
Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
S10= 1/2 .10 (1 + U10)
S10= 1/2 .10 (1 + 10)
S10= 1/2 .10 (11)
S10= 55
D.Notasi Sigma
Notasi sigma adalah sutu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang umumnya dibaca “sigma” yang merupakan huruf umum Yunani dari huruf S yang merupakan huruf pertama dari kata “SUM” yang artinya jumlah.
Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: f(x) = ax2 + bx + c dimana a, b, c bilangan real dan
a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.
Beberapa langkah yang ditempuh untuk menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:
a. Titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0
b. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
c. Sumbu simetri grafik yaitu x = - b
2a
d. Koordinat titik balik /titik puncak (x,y) di mana x = - b dan y = - D
2a 4a
dengan D = b2 – 4ac.
e. Grafik terbuka ke bawah jika a <> 0.
1). Kedudukan Grafik fungsi kuadrat
Kedudukan grafik fungsi kuadrat yang dilihat dari banyaknya titik potong dengan
sumbu x, ditentukan oleh nilai diskriminan yaitu D = b2 – 4ac. Sedangkan grafik membuka ke atas atau ke bawah ditentukan oleh tanda a (koefisien x2).
Kedudukan grafik fungsi kuadrat ditinjau dari nilai diskriminan ( D ) dan a adalah
sebagai berikut:
a. Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu x di dua titik
b. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu x
c. Jika D <> 0 maka grafik terbuka ke atas dan diperoleh titik puncak minimum
Jika a <>
2) Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi-kondisi dibawah ini diketahui:
a) Grafik memotong sumbu x di (x¬1,0) dan (x2,0) serta melalui titik sembarang (x3,y3) pada grafik, maka persamaanya adalah y = a(x – x1)(x – x2).
b) Grafik mempunyai titik balik P(xp,yp) serta melalui titik sembarang (x1,y1) pada grafik, maka persamaanya adalah y = a(x – xp)2 + yp.
c) Grafik melalui tiga buah titik yaitu (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3), maka persamaanya adalah y = ax2 + bx + c.
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah: f(x) = ax2 + bx + c dimana a, b, c bilangan real dan
a ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.
Beberapa langkah yang ditempuh untuk menggambar grafik fungsi kuadrat adalah:
a. Titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0
b. Titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
c. Sumbu simetri grafik yaitu x = - b
2a
d. Koordinat titik balik /titik puncak (x,y) di mana x = - b dan y = - D
2a 4a
dengan D = b2 – 4ac.
e. Grafik terbuka ke bawah jika a <> 0.
1). Kedudukan Grafik fungsi kuadrat
Kedudukan grafik fungsi kuadrat yang dilihat dari banyaknya titik potong dengan
sumbu x, ditentukan oleh nilai diskriminan yaitu D = b2 – 4ac. Sedangkan grafik membuka ke atas atau ke bawah ditentukan oleh tanda a (koefisien x2).
Kedudukan grafik fungsi kuadrat ditinjau dari nilai diskriminan ( D ) dan a adalah
sebagai berikut:
a. Jika D > 0 maka grafik memotong sumbu x di dua titik
b. Jika D = 0 maka grafik menyinggung sumbu x
c. Jika D <> 0 maka grafik terbuka ke atas dan diperoleh titik puncak minimum
Jika a <>
2) Menentukan Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi-kondisi dibawah ini diketahui:
a) Grafik memotong sumbu x di (x¬1,0) dan (x2,0) serta melalui titik sembarang (x3,y3) pada grafik, maka persamaanya adalah y = a(x – x1)(x – x2).
b) Grafik mempunyai titik balik P(xp,yp) serta melalui titik sembarang (x1,y1) pada grafik, maka persamaanya adalah y = a(x – xp)2 + yp.
c) Grafik melalui tiga buah titik yaitu (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3), maka persamaanya adalah y = ax2 + bx + c.
Fungsi Linier
Fungsi Liniar
1). Pengertian fungsi linier
Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi
yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut
dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:
f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c
m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta
2). Melukis grafik fungsi linier
Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier
a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)
b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)
c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus
3). Gradien dan persamaan garis lurus
a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:
m = y1-y2 atau m = y2-y1
x1-x2 x2-x1
b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
y-y1 = x-x1
y2-y1 x2-x1
c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:
y = m (x – x1 ) + y1
4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)
@ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b
@ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a
@ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0
@ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient
5). Titik potong dua buah garis
Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan
penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,
metode substitusi maupun metode grafik
6). Hubungan dua buah garis
Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1
1). Pengertian fungsi linier
Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi
yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut
dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:
f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c
m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta
2). Melukis grafik fungsi linier
Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier
a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)
b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)
c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus
3). Gradien dan persamaan garis lurus
a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:
m = y1-y2 atau m = y2-y1
x1-x2 x2-x1
b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:
y-y1 = x-x1
y2-y1 x2-x1
c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:
y = m (x – x1 ) + y1
4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)
@ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b
@ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a
@ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0
@ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient
5). Titik potong dua buah garis
Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan
penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,
metode substitusi maupun metode grafik
6). Hubungan dua buah garis
Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1
Fungsi Invers
Fungsi Invers
1. Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers
Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan
tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.
Jika fungsi f = A→B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a, b) | a A dan b B}
maka invers fungsi f adalah f -1= b→A ditentukan oleh f -1= {(b, a) | b B, dan a A}.
2. Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi
Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif
atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka
f –1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f -1. f)(x) = x dan (f . f -1)(x) = x.
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara
berikut ini.
a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam
y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f -1(x).
3. Kaitan Sifat Fungsi Invers dengan Fungsi Komposisi
Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi
Jika terdapat fungsi komposisi (g . f), maka (g . f) dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya.
Fungsi invers dari fungsi komposisi
Bila suatu fungsi h : A → C ditentukan oleh h = g . f dengan f : A → B dan
g : B → C maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h-1= (g . f) -1.
Sifat-sifat fungsi invers dari fungsi komposisi:
1) (g . f) -1 (x) = (f -1 . g -1)(x)
2) (f . g) -1 (x) = (g -1 . f -1)(x)
1. Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers
Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan
tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.
Jika fungsi f = A→B dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a, b) | a A dan b B}
maka invers fungsi f adalah f -1= b→A ditentukan oleh f -1= {(b, a) | b B, dan a A}.
2. Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi
Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif
atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka
f –1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f -1. f)(x) = x dan (f . f -1)(x) = x.
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara
berikut ini.
a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam
y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f -1(x).
3. Kaitan Sifat Fungsi Invers dengan Fungsi Komposisi
Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi
Jika terdapat fungsi komposisi (g . f), maka (g . f) dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya.
Fungsi invers dari fungsi komposisi
Bila suatu fungsi h : A → C ditentukan oleh h = g . f dengan f : A → B dan
g : B → C maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h-1= (g . f) -1.
Sifat-sifat fungsi invers dari fungsi komposisi:
1) (g . f) -1 (x) = (f -1 . g -1)(x)
2) (f . g) -1 (x) = (g -1 . f -1)(x)
Aljabar Fungsi dan Fungsi Komposisi
Aljabar Fungsi dan Fungsi Komposisi
A. Aljabar Fungsi
Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.
1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. Perkalian f dan g berlaku (f . g)(x) = f(x) . g(x)
4. Pembagian f dan g berlaku f (x) = f(x)g.g(x)
B. Fungsi Komposisi
Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen Pembentuknya
Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini.
a. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan nilainya.
b. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.
A. Aljabar Fungsi
Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.
1. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. Perkalian f dan g berlaku (f . g)(x) = f(x) . g(x)
4. Pembagian f dan g berlaku f (x) = f(x)g.g(x)
B. Fungsi Komposisi
Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen Pembentuknya
Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini.
a. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan nilainya.
b. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.
Macam-Macam Fungsi
Macam-Macam Fungsi
1) Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu
konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya
sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.
2) Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa
garis lurus.
3) Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola.
4) Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik
absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.
5) Fungsi tangga (bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
6) Fungsi modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
7) Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini
tidak genap dan tidak ganjil.
8. Fungsi Polinomial
Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :
f(x) = an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0
Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).
Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).
1) Fungsi konstan (fungsi tetap)
Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu
konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya
sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.
2) Fungsi linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa
garis lurus.
3) Fungsi kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh
f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan
grafiknya berupa parabola.
4) Fungsi identitas
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi
berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik
absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.
5) Fungsi tangga (bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk
interval-interval yang sejajar.
6) Fungsi modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan
setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
7) Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut
fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi ini
tidak genap dan tidak ganjil.
8. Fungsi Polinomial
Fungsi Polinomial adalah fungsi f yang dinyatakan dalam bentuk :
f(x) = an x n + an-1 x n-1 + ……. A2 x 2 + a1 x a0
Jika n = 1 maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus).
Jika n = 2 maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola).
Menentukan Nilai Fungsi
A. MENENTUKAN NILAI FUNGSI
@Untuk melambangkan fungsi kita gunakan huruf kecil, seperti: f, g, h. Sehingga kita sebut fungsi f, fungsi g, dan fungsi h.
@ Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B kita notasikan dengan f : A →B atau f : x → y dengan x A dan y B (f : x → y dibaca ”fungsi f memetakan x ke y”)
@Penulisan lain dari notasi f : x → y yaitu f(x) = y yang disebut sebagai rumus fungsi f
@Menentukan nilai fungsi yang dinotasikan dengan f : x → y atau dirumuskan dengan f (x) = y adalah menentukan nilai y atau f (x) jika nilai x diberikan.
CONTOH:
Suatu fungsi f dinotasikan dengan f : x → 3x + 6
a. Tulis rumus fungsi f
b. Tentukan nilai dari: f (–2), f (0), f (a – 2) dan f ( 2/3 )
Penyelesaian:
a. Notasi fungsi f adalah f : x → 3x + 6
Rumus fungsi f adalah f(x) = 3x + 6
b. f (–2) = 3 (–2) + 6 = –6 + 6 = 0
f (0) = 3 (0) + 6 = 0 + 6 = 6
f (a – 2) = 3 (a – 2) + 6 = 3a – 6 + 6 = 3a
f ( 2/3 ) = 3 ( 2/3 ) + 6 = 2 + 6 = 8
B. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI JIKA NILAI DAN DATA FUNGSI DIKETAHUI
CONTOH 1
Fungsi f dirumuskan dengan f (x) = 3 – px
Jika f(4) = 11, tentukan p dan rumus fungsi f
Penyelesaian:
f (x) = 3 – px
f (4) = 3 – 4p = 11
– 4p = 11 – 3
– 4p = 8
p = 8
-4
p = – 2
Rumus fungsi f adalah f(x) = 3 – (–2)x
f(x) = 3 + 2x
@Untuk melambangkan fungsi kita gunakan huruf kecil, seperti: f, g, h. Sehingga kita sebut fungsi f, fungsi g, dan fungsi h.
@ Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B kita notasikan dengan f : A →B atau f : x → y dengan x A dan y B (f : x → y dibaca ”fungsi f memetakan x ke y”)
@Penulisan lain dari notasi f : x → y yaitu f(x) = y yang disebut sebagai rumus fungsi f
@Menentukan nilai fungsi yang dinotasikan dengan f : x → y atau dirumuskan dengan f (x) = y adalah menentukan nilai y atau f (x) jika nilai x diberikan.
CONTOH:
Suatu fungsi f dinotasikan dengan f : x → 3x + 6
a. Tulis rumus fungsi f
b. Tentukan nilai dari: f (–2), f (0), f (a – 2) dan f ( 2/3 )
Penyelesaian:
a. Notasi fungsi f adalah f : x → 3x + 6
Rumus fungsi f adalah f(x) = 3x + 6
b. f (–2) = 3 (–2) + 6 = –6 + 6 = 0
f (0) = 3 (0) + 6 = 0 + 6 = 6
f (a – 2) = 3 (a – 2) + 6 = 3a – 6 + 6 = 3a
f ( 2/3 ) = 3 ( 2/3 ) + 6 = 2 + 6 = 8
B. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI JIKA NILAI DAN DATA FUNGSI DIKETAHUI
CONTOH 1
Fungsi f dirumuskan dengan f (x) = 3 – px
Jika f(4) = 11, tentukan p dan rumus fungsi f
Penyelesaian:
f (x) = 3 – px
f (4) = 3 – 4p = 11
– 4p = 11 – 3
– 4p = 8
p = 8
-4
p = – 2
Rumus fungsi f adalah f(x) = 3 – (–2)x
f(x) = 3 + 2x
Relasi dan Fungsi
A) Relasi
Relasi adalah hubungan antara 2 komponen.
Cara-Cara Menyatakan Relasi :
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan.
2. Dengan Diagram Panah.
3. Dengan Diagram Cartesius.
1. Himpunan Pasangan Berurutan.
...Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips.
2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B.
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah.
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi.
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi.
3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar.
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak.
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y).
B) Fungsi
Fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap domain dengan kodomain.
1) Domain, Kodomain dan Range Fungsi.
a) Domain adalah daerah asal suatu fungsi.
b) Kodomain adalah daerah kawan suatu fungsi.
c) Range adalah daerah kawan yang merupakan hasil relasi suatu fungsi.
2) Korespondensi Satu-Satu.
Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B
dengan n(A) = n(B) = n adalah n X (n - 1) X (n - 2) X … X 3 X 2 X 1 = n! (dibaca n faktorial)
Dua hal penting mengenai korespondensi satu-satu adalah:
1. Banyak anggota dua himpunan yang berkorespondensi satu-satu adalah sama.
2. Merupakan fungsi dua arah.
@Jika n(A) = n(B) = 1, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 1
@ Jika n(A) = n(B) = 2, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 2 = 2 x 1
@Jika n(A) = n(B) = 3, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 6 = 3 x 2 x 1
@Jika n(A) = n(B) = 4, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Sifat-Sifat Fungsi :
1) Fungsi f:A -> B disebut fungsi into.
....Karena ada KODOMAIN yang tidak berpasangan dengan DOMAIN.
2) Fungsi f:A -> B disebut fungsi injektif.
....Karena setiap KODOMAIN berpasangan tepat saatu dengan DOMAIN.
3) Fungsi f:A -> B disebut fungsi subjektif.
....Karena setiap KODOMAIN berpasangan dengan DOMAIN.
4) Fungsi f:A -> B disebut fungsi bijektif.
....Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B).
Relasi adalah hubungan antara 2 komponen.
Cara-Cara Menyatakan Relasi :
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan.
2. Dengan Diagram Panah.
3. Dengan Diagram Cartesius.
1. Himpunan Pasangan Berurutan.
...Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips.
2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B.
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah.
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi.
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi.
3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar.
2. y=B diletakkan pada sumbu tegak.
3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y).
B) Fungsi
Fungsi adalah relasi yang menghubungkan setiap domain dengan kodomain.
1) Domain, Kodomain dan Range Fungsi.
a) Domain adalah daerah asal suatu fungsi.
b) Kodomain adalah daerah kawan suatu fungsi.
c) Range adalah daerah kawan yang merupakan hasil relasi suatu fungsi.
2) Korespondensi Satu-Satu.
Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B
dengan n(A) = n(B) = n adalah n X (n - 1) X (n - 2) X … X 3 X 2 X 1 = n! (dibaca n faktorial)
Dua hal penting mengenai korespondensi satu-satu adalah:
1. Banyak anggota dua himpunan yang berkorespondensi satu-satu adalah sama.
2. Merupakan fungsi dua arah.
@Jika n(A) = n(B) = 1, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 1
@ Jika n(A) = n(B) = 2, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 2 = 2 x 1
@Jika n(A) = n(B) = 3, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 6 = 3 x 2 x 1
@Jika n(A) = n(B) = 4, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Sifat-Sifat Fungsi :
1) Fungsi f:A -> B disebut fungsi into.
....Karena ada KODOMAIN yang tidak berpasangan dengan DOMAIN.
2) Fungsi f:A -> B disebut fungsi injektif.
....Karena setiap KODOMAIN berpasangan tepat saatu dengan DOMAIN.
3) Fungsi f:A -> B disebut fungsi subjektif.
....Karena setiap KODOMAIN berpasangan dengan DOMAIN.
4) Fungsi f:A -> B disebut fungsi bijektif.
....Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B).
Kamis, 14 Januari 2010
Modul Matematika XI Teknik
TRIGONOMETRI
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2atg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1= 1 - 2 sin2 ½natg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
| | I | II | III | IV |
| a | + | - | - | + |
| b | + | + | - | - |
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Panduan belajar Fotografi
Panduan untuk Fotografi Pemula
Fotografi adalah salah satu dari kegemaran yang paling populer sekarang ini, dan banyak fotografer yang maju dari menjadi foto hobby menjadi suatu profesional yang mendapatkan bayaran dari lakukan mereka cintai yaitu Fotografi.Menjadi fotografer yang besar memerlukan banyak kesabaran, suatu mata yang artistik, dan teknis know-hows. Untuk membantu mereka yang tertarik akan menjadi Fotografer, di sini akan dijelaskan beberapa yang tips yang pasti dapat membantu dalam menciptakan photo indah dan menarik.
1. Pilih kamera yang benar
Suatu fotografer makan dengan kamera nya dan tidur dengan kamera nya. Kamera adalah hidup nya. Oleh karena itu, itu tidak lain dari sangat penting untuk pilih kamera yang benar untuk menembak foto yang sempurna itu. Ada macam banyak orang dari kamera yang bercita-cita tinggi shutterbugs dapat pilih dari, menyediakan makan ke macam yang berbeda tentang anggaran. Sudah barang tentu bahwa kamera yang terbaik adalah orang-orang yang priciest. Suatu kamera yang baik adalah suatu besar tetapi investasi yang yang dapat dipertimbangkan.
Ini adalah jenis kamera tersedia di pasar yang umum:
1. kamera yang tersedia/dapat dijual
2. kamera yang ringkas
3. atau Kamera refleks lensa SLR
4. yang tunggal4. Kamera yang digital
Pemula direkomendasikan untuk gunakan kamera batas-batas harga medium seperti Minolta, Canon atau Pentax, yang dapat mengambil gambar-an pemandangan-besar hampir boleh dikatakan orang-orang top-of-the-line.
2. Memilih lensa yang pantas
Pemula dapat mulai dengan dua lensa, nomor satu dari 28mm ke 80mm dan satu yang kedua dari 80mm ke 270mm. Ada macam yang berbeda tentang lensa, yang normal sudut lebar, tanjakan dan lensa yang makro.
3. Film pembeda mengetik
Sungguh-Sungguh, film adalah sangat penting karena;sejak gambaran diambil disimpan di sini. Macam yang paling umum adalah warna adalah film hitam dan yang putih.
4. Pilih kecepatan film hak/ kebenaran
Aturan yang umum adalah, yang lebih tinggi nomor;jumlah ISO, yang lebih cepat film. Isos yang lebih cepat adalah untuk tindakan yang puasa/cepat/rapat seperti olahraga, atau untuk tunas di mana ada lebih sedikit ringan.. Karena tunas dengan suatu kelimpahan dari cahaya, suatu 100 0r 200 ISO akan lakukan baik.
5. Penyeimbangan dari warna
Film perlu selalu ditarungkan ke sumber dari cahaya untuk tujuan menghasilkan gambar-an yang yang diinginkan. Tidak sama dengan mata biasa, film lihat warna cahaya yang berbeda, dan jika ringan dan film tidak memenuhi warna akan diketahui semua salah..
Fotografi adalah suatu kegemaran yang besar yang direkomendasikan untuk semua orang, para laki-laki dan perempuan atau setiap orang mirip. Belajar teknik yang benar adalah penting jika anda ingin di;jadi;kan ahli dalam itu. Hanya;Baru saja mengikuti seseorang dan petunjuk ini dapat menciptakan gambar-an yang pemandangan-besar cepat sekali.
Langganan:
Postingan (Atom)
_2.jpg)